-axis)からなる平面、いわゆるガウス平面(Gaussian plane)に直線
を引きます。 この直線上の点は、a,bが同符号であるすべての複素数 a + b (ab
) に対応しているので、複素数の数直線と考えることができます。 ふつう、複素数には大小がありません。 しかし、直線では、その原点Oからの距離(複素数の絶対値)を大小の基準にとることができます。 それでこの直線を複素数直線(complex number line)とでも呼べるものとしたいのですが、それだけではガウス平面の第2象限と第4象限内の複素数をカバーすることができません。
Fig.2'をご覧ください。x', Y = y + y' からなる複素数の組(X, Y)と1対1で対応する点を考えることができます。 そのような点をそのまま描くことはできません。 しかし、複素数としてではなく、実数か虚数だけの組、あるいは虚と実の組なら描けます。
Fig.3をご覧ください。
ではなくて、円錐面 
に密着しようと
, 
, 
)は、回転双曲面上の非同次座標と同じですから、式(1')は
)ですから、
, , )に複素数もゆるすことにすれば、2つの虚の点
Fig.4のように、円や楕円は交わることもあれば交わらないこともあります。 楕円が他の楕円と交わると、交点が4つできる場合があります。 交わるのが円と円のときは、交点が2つできます。 ところが、ポンスレ―は「どんな2つの円も、つねに4つの交点で交わっている」というのです。 それなら、円を楕円と区別することなく公平ですし、交わるとか交わらないといった不連続もありません。 円が2つあれば、どんなに離れていても、いつも交わっているのです！
になります。 この解は、円の位置や半径に依存しません。 半径ゼロの点円であってもよいのです。
b だとすると、(実数の)直線上のそれに対応する点は (a, b) です。 虚の交点と交点の間の距離(共通弦の長さ)は複素数の差の絶対値ですから、その距離は実数です。
の考え)。
にはありませんが、無限遠 
でなら、
, , )で表わすと、点円は
との交点は虚円点で、それぞれ 
, 
となっています。 したがって、すべての実の点は、2つの虚円点を通る虚直線でもあるといえます。 なんと奇々怪々！
さらに不思議なことには、この虚直線上の任意の2点間の距離はゼロです。 実際、式(8)は点(, , )が虚直線上のどこにあっても、そこから点(a, b, c)までの距離がゼロであることを表わしています。 それで、この虚直線は極小直線とよばれています。
Fig.8をご覧ください。,mと交点Pだけでは、角
を複比で測ることができません。 複比を計算するには4点が要ります。, を通っています。 それらの傾きは と - で、図での開きは直角です。,mの交角は、4直線,m,I,Jの複比
,mだけで、角を複比で表せることになりました。と対数が現れているので、ちょっと神秘的に見えますね。 でも、複比を
と虚実に分けてみると、
がキャンセルされて、実数の角が得られるのがわかります。がわかれば、円弧の長さrをいうことができます。がをそのまま平面上の線分の長さになります｡)
Fig.10をご覧ください。,mの交点Pが円の内部にあります。 点線s,tは、この点Pを通る円の虚接線(虚の直線)の仮想です。 2本の虚接線s,tと2(実)直線,mの複比から、ラゲ―ルの公式と同じ形の式
が得られます。 この角は、クラインの円板の双曲的角になっています。
Fig.11をご覧ください。 円の実と虚の接線のからみぐわいを見ていきます。
は、点Pが円Oの外部にある場合です。 点Pから赤い2本の接線が引かれています。 黒いスポットは接点です。 緑色の直線cは2つの接点を通っています。 射影幾何では、この直線cを極線、点Pを極とよんでいます。
は、極Pを円の近くへもってきたところです。 2本の接線が大きく開いていて、極線が円周をかすかに切っています。
は、極Pが円周上にきたときです。 2本の接線が一直線になり、極線と重なっています。
は、逆に極Pを無限の彼方へ追いやった場合です。 2本の接線が平行線になっています。 そして、極線が円の中心を通っています。
は、極Pをから円の内部へ突っ込んだ場合です。 極線が円から離れています。 極線は、極Pが円の内部にあっても、実の直線です。赤い接線は消えて、灰色の虚接線が現れました。 虚接線を見るときは、ガウス平面だと思って見てください。 ただし、観念的に描いた仮想です。 接点(x,y)を計算してみると、xもyも複素数になります。 とうてい描けません。 この複素接点(x,y)のx,yの実部だけをとって点としてみると、それは原点Oから点Pを通った直線が極線を切るところの黒いスポットの点P'になります。 それを挟んでいる2つの黒いスポットは、虚接点のつもりです。
は、極Pをさらに内部へと動かしてみたものです。 極線が遠ざかっていきます。 2本の虚接線の広がりは、小さくなるだらうと想像して描いてあります。
は、点Pを円の中心に置いた場合です。 極線が無限の彼方へと退いてしまって、無限遠直線と重なっています。 虚接線は、円の中心から直角に伸びているものと仮想して描いています。 その2本の虚接線は虚円点I,Jを通ります。 そこには、すべての円は虚円点を通るという円を点線で描いてあります。 この様子を「虚円点I,Jにおける(虚)接線は円の中心を通る」と表現されています。yに書き変えます。 すると、虚円点は、が() = -1 になり, 0) 
(1, 1, 0), 0) (1, -1, 0)bに書きかえて)
です。 その距離は、漸近線上ではゼロになり、灰色のところでは(点(x,y)は実ですけれども距離としては)虚数になります。 そして、原点Oからの等距離線が双曲線になっています。 双曲線を2直線,mが切っているところでは、Op = Op' であり、pq = p'q' です。で測ってみました。 四つ葉形の曲線は、得た値を動径の先端とした軌跡です。 ふつうの円は、擬ユークリッド平面ではこのような四つ葉になるということです。 距離
は実数ですが、灰色の葉のところの距離
は虚数です。,mの間の角は、ラゲ―ルの公式(9)を擬ユークリッド平面用に変えたもので得ることができます。 を1に変えて、
は、ふつうの角ではなくて、双曲線関数の角(パラメータ)です。 で測るのですから、漸近線はあくまで極小直線です。 そして、原点から双曲線までの距離は一定です。 つまり、円(10)です。 直線やmを漸近線をこえて[1]の灰色のところへ引くことはできません。 Fig.8の[3]では直線が漸近線をこえているように見えますが、そこにある点線の直線Iは虚直線です。
がありません。 あったものが消えたのではなく、はじめからないのです。 (SPQT)は実数からなる複比ですから。
を引きます。 その直線上の点を線分を乗せる直線の一端にします。 そして、一定の複比となる赤い線分をいくつか描いてみました。 たしかに複比は定まっていて、一定ですから、赤い線分はすべて合同だといってよいでしようか？ それに答えるには、まず何をもって合同というかを決めておかねばなりません。 この平面ではそれが定められていないので、答えることができません。 ポアンカレの上半平面が思い浮かびますが、それとも違います。
(円の外側でもよい)から点S,A,Bに直線を引きます。 つぎに、直線S上の点S,以外の任意のところに点M(円の外側でもよい)をとって、直線MTを引きます。 直線MTと直線Aとの交点をU、直線Bとの交点をVとします。と交わる点を
として、そこで折り返して赤い直線のように点Vを通って、VCを引きます。
-V-D と点Dを得ます。 あとは同じことの繰り返しです。 しかしこのきざみは、けっして終わることはありません。
= (MTUV) です。 つまり、双曲的物差しの出来上がりです。 (対数目盛りのように見えますが、そうではありません｡)
をわかりやすく書いて
を中点にしておきます。 これを変形して、
は
のときは、極限値をとることで、ぴったり 
= T となります。 しかし実際には P = T ということは有り得ないので、やはり T としておかねばなりません。 つまり、は点Tへ限りなく近づくだけで、達するわけではありません。 これは正の方へきざんで行く場合ですが、負の方へきざむなら、右辺にマイナス(-)をつければよいのです。 するとは左の点Sへ向かって行きます。
: ふつうの長方形です。 辺ADと辺BCは、AD', BC'のようにいくら延長しても、交わりません。 縦に延ばしても横に延ばしても、交わりません。 しかし、射影幾何的に見ると、交わらないからADとBCは平行ではないのです！: 射影平面上では、すべての2直線は無限遠点で交わるのですから、そのように
長方形ABCDを歪めます。 そして、各辺を延長し、対角線も引きます。 すると、3つの交点p,q,rが得られます。 その交点は平行線の交わっているところの無限遠ですから、そこに無限遠直線を引くことができます。 それは直線ですけれども、図では赤い曲線 p-q-r のようになります。 これで射影幾何の公理が完全に満たされているといわれています。の四辺形の頂点を通る楕円を描こうとすると、赤い無限遠直線を横切ってしまいます。 それでは射影幾何に叛くことになるので、ルールを整えておかねばなりません。 それは作画上でのことですが、ちょっと面倒です。 ここでは、こんなのもあるということだけにしておきます。|
ユークリッド平面を無限の広がりをもったものだとすると、自然に射影平面に なります。 双曲幾何の円板モデルは開円板です。それは、円板から円周を取り除いた ものだと考えられます。その円板の内部では、いくらでも遠いところへ行け るけれども、無限遠へは行けない。つまり、円板の内部では、どんな長さも 有限だということになります。(理想三角形の頂点などは、実際は先端が欠 けているのだと理解します。) ですから、円板モデルでは対心点の同一視は考えないというよりも、対心点 そのものが存在しないのです。 −−−−と考えます。 質問： 1. 上の考え方は正しいでしようか。 2. 極限についてです。 
左辺は、Xがaに限りなく近づいた挙句の果てということです。Xはaにいくら でも近づきはしますが、近づくだけです。たとえ、挙句の果てであっても、 Xとaとの間には隙間があります。けっして 
とはなりません。ですから、 
と書くべきです。(1)が許されるのは、そうだとしても差し支えないときに限 ります。 この考えは正しいでしようか。(  論法でも上の主張は成り立つ?)開円板の内部から円周へ向かって進むときは、(2)に拠らなければなりま せん。いかがでしようか。 
3. 理想三角形の頂点は、円板モデルの円周上 にあるのですから、そこでは対心点の同一視 が作用します。すると、3辺を延長することが できます。 その結果は右図のようになるの でしようか。 回答： いくつかの難しい問題も含んでおり、即答できま せん。が、わかる範囲で答えます。 まず、無限遠に発散することを一般に 
のように書きます。(infinity = 無限大) これは、「無限遠点の近傍」という概 念があるからです。もちろん通常の距離空間ではこうはなりません。 （任意の点と無限遠点との距離は無限大だから。)ですから、無限遠点を点 として考えるとき、その近傍系を何らかの形で定義するのであれば、普通の 位相空間としての収束がありえます。 双曲幾何学を射影空間へ拡張して考えてみたいとのことですが、できるは ずです。ただ、無限遠点の対蹠点を同一視する、というような方法ではない ような気がします。ユークリッド平面の場合には、一つの直線の両端が同じ 無限遠点である、という解釈ですべてが説明できます。双曲平面の場合に はそれができません。ですから、射影平面への拡張は違う方法だと思いま す。しかし、残念ながら私はその方法を知りません。いつかわかったらお知 らせします。 |